Словарь русских фамилий:
Вероятна связь фамилии с глаголом лезжать — «браниться, брюзжать; тараторить, говорить без умолку; докучать неотступными просьбами, клянчить». (Даль) Но в том же словаре прозвище от этого слова — лезгун — ворчун, брюзга. Так что это пока только возможный вариант объяснения. Лязгин может быть и от лязга — лещина, орешник.
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020