Определение слова «Круг сходимости»

Большая советская энциклопедия:

Круг сходимости
Степенного Ряда
a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+… (*)
круг |z—z0| < R в плоскости комплексного переменного z, обладающий тем свойством, что внутри него ряд (*) сходится, а вне соответствующего замкнутого круга — расходится (в точках окружности |z—z0| = R ряд может как сходиться, так и расходиться). Каждый степенной ряд или сходится на всей плоскости (при любых z), или имеет К. с. конечного радиуса R, или сходится только при z = z0. Внутри К. с. ряд (*) сходится к некоторой аналитической функции (См. Аналитические функции). Число R называется радиусом сходимости ряда (*) и определяется по формуле Коши — Адамара:

Если z0 = x0 — действительное число, то часть действительной оси Ox, лежащая внутри К. с., называется интервалом сходимости (См. Интервал сходимости).

Математическая энциклопедия:

Степенного ряда — круг вида в к-ром ряд (1) абсолютно сходится, а вне его, при расходится. Иными словами, К. с. есть внутренность множества точек сходимости ряда (1). Радиус RК. с. наз. радиусом сходимости ряда (1). К. с. может вырождаться в точку а, когда R = 0, н может совпадать со всей открытой плоскостью переменного z, когда Радиус сходимости Rравен расстоянию от центра ряда адо множества особых точек функции f (z) (об определении Л по коэффициентам ряда ck см. Коши — Адамара теорема). Любой круг на плоскости z является К. с. нек-рого степенного ряда. В случае степенного ряда по нескольким комплексным переменным n>1, поликругом сходимости ряда (2) наз. всякий поликруг такой, что во всех его точках ряд (2) абсолютно сходится, а в любом поликруге вида где и по крайней мере одно из последних неравенств строгое, найдется хотя бы одна точка, в к-рой ряд (2) расходится. Радиусы поликруга сходимости наз. сопряженными р а д и у с a м и сходимости ряда (2). Они связаны определенным соотношением с коэффициентами ряда (2), так что любой поликруг с центром а, радиусы к-рого удовлетворяют этому соотношению, является поликругом сходимости ряда (2) (см. Коши — Адамара теорема). Любой поликруг вида ... , n, в комплексном пространстве есть поликруг сходимости нек-рого степенного ряда по пкомплексным переменным. Вся внутренность множества точек абсолютной сходимости ряда (2) при n>1 имеет более сложный вид — это логарифмически выпуклая полная кратно круговая область пространства с центром а. Лит.:[1] М а р к v ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] III а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.

Смотреть другие определения →