Математическая энциклопедия:
Название, установившееся за математич. объектами, возникающими в результате развертывания так называемых конструктивных процессов. При описании того или иного конкретного конструктивного процесса обычно "...предполагается, что отчетливо охарактеризованы объекты, которые в данном рассмотрении фигурируют в качестве нерасчленяемых на части исходных объектов; предполагается, что задан список тех правил образования новых объектов из ранее построенных, которые в данном рассмотрении фигурируют в качестве описаний допустимых шагов конструктивных процессов; предполагается, что процессы построения осуществляются отдельными шагами, причем выбор каждого очередного шага произволен в тех границах, которые определяются спискрм ранее построенных объектов и совокупностью тех правил образования, которые фактически можно применить к ранее построенным объектам" (см. [3], с. 16). Такое описание конструктивного процесса, а тем самым и К. о., разумеется, не может претендовать на то, чтобы быть точным математич. определением. Однако конкретные математич. теории всегда имеют дело лишь с такими конкретными типами К. о., к-рые допускают точную характеризацию. Приведенное выше описание К. о. служит в таких ситуациях ориентиром для выбора соответствующих точных определений. Примером точно определенного типа К. о. могут служить слова в к.-л. фиксированном алфавите (буквы этого алфавита играют роль исходных объектов; новые слова получаются из уже имеющихся путем приписывания к последним справа букв рассматриваемого алфавита). Другими примерами типов К. о. могут служить конечные графы, конечные абстрактные топологические комплексы, релейно-контактные схемы (выбор соответствующих исходных объектов и правил образования не представляет труда). Как К. о. могут быть также определены рациональные числа, алгебраические многочлены, алгоритмы и исчисления различных точно определенных типов, автоматы конечные, конечно определенные группы и другие им подобные математпч. объекты. К. о. играют важную роль в тех математич. теориях, в к-рых возникает потребность в рассмотрении объектов, допускающих отчетливое индивидуальное задание средствами той или иной математпч. символики. В рамках теоретико-множественной математики, неограниченно использующей абстракцию актуальной бесконечности, К. о. и произвольные множества К. о. рассматриваются одновременно и наравне с прочими математич. объектами, среди к-рых К. о. выделяются лишь своей большей "осязаемостью". В рамках конструктивной математики К. о. (или объекты, задаваемые ими) представляют собой единственно допускаемый к рассмотрению тип математич. объектов, и рассмотрение их здесь ведется на базе отказа от применения абстракции актуальной бесконечности и на основе специальной конструктивной логики, учитывающей, в частности, специфику определения К. о. См. также Конструктивная математика. Лит.:[1] Марков А. А., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1962, т. 67, с. 8-14; [2] его же, О логике конструктивной математики, М., 1972; [3] Шанин Н. А., "Тр. матем. ин-та АН СССР", 1962, т. 67, с. 15 — 294. Н. М. Нагорный.
Новая философская энциклопедия:
КОНСТРУКТИВНЫЙ ОБЪЕКТ – логико-гносеологическая категория, обозначающая объекты, возникающие в результате развертывания порождающих их конструктивных процессов [КОНСТРУКТИВНЫЙ ПРОЦЕСС]. Рассматриваемые безотносительно к смыслу, который им впоследствии может быть придан, а также к их предполагаемому использованию, конструктивные объекты представляют собой некоторые специальным образом устроенные конфигурации элементарных знаков, и как таковые они должны восприниматься чисто синтаксически. Такого рода знаковоструктурный подход к объектам впервые возник в математических исследованиях в начале 20 в. и затем получил последовательное развитие в работах по математической логике и теории алгоритмов. Впоследствии на базе этих исследований сформировалась специальная наука о знаковых системах – семиотика [СЕМИОТИКА]. Как правило, конструктивные объекты вводятся в рассмотрение целыми семействами (типами) путем задания соответствующих семейств порождающих их однотипных конструктивных процессов. В тех случаях, когда описаниям этих процессов удается придать точный характер, характеризации соответствующих им типов конструктивных объектов также оказываются точными, и тогда объекты этих точно описанных типов могут быть использованы в качестве моделей фундаментальных понятий самых разнообразных научных дисциплин. Так, напр., конструктивные объекты следующих двух типов:
I, II, III, IIII,... и -I, -II, -III, -IIII, ...
могут рассматриваться в качестве положительных и, соответственно, отрицательных целых чисел. На их базе могут быть как конструктивные объекты определены рациональные числа. Если теперь принять во внимание, что в виде конструктивных объектов могут быть заданы и алгоритмы точно охарактеризованных типов (напр., машины Тьюринга или нормальные алгорифмы Маркова), то станет ясно, что тем самым открывается путь к построению на базе конструктивных объектов достаточно богатых и содержательных математических теорий. Аналогично, как конструктивные объекты соответствующих типов могут быть определены структурные химические формулы, релейно-контактные схемы, тексты на разного рода искусственных языках (напр., на алгоритмических языках, на языках каких-либо дедуктивных теорий) и т.п. Фактически можно считать, что любая научная символика допускает задание в виде конструктивных объектов надлежащих типов. Т.о., понятие «конструктивный объект» обладает чрезвычайно высокой степенью общности. Относительно низкий уровень абстрактности и особая «осязаемость» конструктивных объектов делают более простой проблему понимания суждений об этих объектах (напр., математических), и это обстоятельство в сочетании с высокой выразительной силой превращает конструктивные объекты в важнейший инструмент научного исследования. Немаловажным является и тот факт, что в силу их знаковой природы конструктивные объекты могут служить информацией, непосредственно пригодной для сообщения ее вычислительной машине.
Рассмотрение конструктивных объектов и вовлечение их в процесс научного исследования может быть осуществлено с привлечением абстракций различных уровней. Наиболее естественным представляется рассмотрение их на базе одной лишь абстракции потенциальной осуществимости [АБСТРАКЦИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ОСУЩЕСТВИМОСТИ], учитывающее характер возникновения конструктивных объектов. При этом в качестве логической базы естественно взять т.н. конструктивную логику [КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА], специально учитывающую специфику понимания суждений о существовании конструктивных объектов как суждений о их потенциальной осуществимости. При рассмотрении конструктивных объектов, ведущемся на базе абстракции актуальной бесконечности [АБСТРАКЦИЯ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ], они трактуются совместно и равноправно с объектами теоретико-множественного характера, а основой логической дедукции является при этом т.н. классическая (аристотелевская) логика. Этим в значительной степени игнорируется генезис конструктивных объектов. Исследование их роли в процессе познания и выяснение их соотношения с объектами иных уровней абстракции [АБСТРАКЦИЯ]представляет собой важную философскую и методологическую проблему, находящуюся в стадии интенсивной разработки.
Литература:
1. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979;
2. Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. М., 1965;
3. Марков А.А. О логике конструктивной математики. М., 1972;
4. Марков .., Нагорный .. Теория алгорифмов. М., 1984 (2-е изд. М., Фазис, 1996);
5. Марков А.А. О конструктивной математике. – Труды Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, т. 67. М.–Л., 1967;
6. Щанин Н.А. Конструктивные вещественные числа и конструктивные функциональные пространства. – Там же.
Н.М.Нагорный
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020