Определение слова «Конические Сечения»

Большой энциклопедический словарь:

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ — линии пересечения круглого конуса (см. Коническая поверхность) с плоскостями, не проходящими через его вершину. В зависимости от взаимного расположения конуса и секущей плоскости получают три типа конических сечений: эллипс, параболу, гиперболу.

Большая советская энциклопедия:

Конические сечения
Линии, которые получаются сечением прямого кругового Конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трёх типов:
1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — Эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.
2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — Парабола, целиком лежащая на одной полости.
3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса; линия пересечения — Гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.
С точки зрения аналитической геометрии К. с.— действительные нераспадающиеся Линии второго порядка.
В тех случаях, когда К. с. имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду:
a11x2+2a12xy + a22y2 = a33.
Дальнейшие исследования таких (называемых центральными) К. с. показывают, что их уравнения могут быть приведены к ещё более простому виду:
Ах2 + Ву2= С, (1)
если за направления осей координат выбрать т. н. главные направления — направления главных осей (осей симметрии) К. с. Если А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (1) определяет эллипс; если А и В разного знака, то — гиперболу.
Уравнение параболы привести к виду (1) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат — единственная ось симметрии параболы, другая — перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду:
y2 = 2рх.
К. с. были известны уже математикам Древней Греции (например, Менехму, 4в. до н. э.); с помощью этих кривых решались некоторые задачи на построение (удвоение куба и др.), оказавшиеся недоступными при использовании простейших чертёжных инструментов — циркуля и линейки. В первых дошедших до нас исследованиях греческие геометры получали К. с., проводя секущую плоскость перпендикулярно к одной из образующих, при этом, в зависимости от угла раствора при вершине конуса (т. е. наибольшего угла между образующими одной полости), линия пересечения оказывалась эллипсом, если этот угол —острый, параболой, если — прямой, и гиперболой, если — тупой. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 до н. э.). Дальнейшие успехи теории К. с. связаны с созданием в 17 в. новых геометрических методов: проективного (французские математики Ж. Дезарг, Б. Паскаль) и в особенности координатного (французские математики Р. Декарт, П. Ферма).
При надлежащем выборе системы координат уравнение К. с. может быть приведено к виду:
y2 = 2px + x2 (р и постоянные).
Если р 0, то оно определяет параболу при = 0, эллипс при < 0, гиперболу при > 0. Геометрическое свойство К. с., содержащееся в последнем уравнении, было известно уже древнегреческим геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам К. с. названия, сохранившиеся до сих пор: слово «парабола» (греческого parabole) означает приложение (т. к. в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади y2 в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2p называлось приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» (греческий lleipsis) — недостаток (приложение с недостатком), слово «гипербола» (греческий hyperbole) — избыток (приложение с избытком).
С переходом к современным методам исследования стереометрическое определение К. с. было заменено планиметрическими определениями этих кривых как геометрических мест на плоскости. Так, например, эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух данных точек (фокусов) имеет данное значение.
Можно дать другое планиметрическое определение К. с., охватывающее все три типа этих кривых: К. с.— геометрическое место точек, для каждой из которых отношение её расстояний до данной точки («фокуса») к расстоянию до данной прямой («директрисы») равно данному положительному числу («эксцентриситету») е. Если при этом е < 1, то К. с.— эллипс; если е > 1, то — гипербола; если е = 1, то — парабола.
Интерес к К. с. всегда поддерживался тем, что эти кривые часто встречаются в различных явлениях природы и в человеческой деятельности. В науке К. с. приобрели особенное значение после того, как немецкий астроном И. Кеплер открыл из наблюдений, а английский учёный И. Ньютон теоретически обосновал законы движения планет, один из которых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по К. с., в одном из фокусов которого находится Солнце. Следующие примеры относятся к отдельным типам К. с.: параболу описывает снаряд или камень, орошенный наклонно к горизонту (правильная форма кривой несколько искажается сопротивлением воздуха); в некоторых механизмах пользуются зубчатыми колёсами эллиптической формы («эллиптическая зубчатка»); гипербола служит графиком обратной пропорциональности, часто наблюдающейся в природе (например, закон Бойля — Мариотта).
Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959.
В. И. Битюцков.

Рис. к ст. Конические сечения.

Математическая энциклопедия:

Линии, к-рые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. К. с. могут быть трех типов: 1) секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а):линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс;окружность как частный случай эллипса получается, когда секущаяплоскость перпендикулярна оси конуса. 2) Секущая плоскость параллельна одной нз касательных плоскостей конуса (рис., б); в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной плоскости. 3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса (рис., в);линия пересечения — гипербола- состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса. С точки зрения аналитич. еометрии К. с.- действительные нераспадающиеся линии второго порядка. В тех случаях, когда К. с. имеет центр симметрии (центр), т. е. является эллипсом или гиперболой, его уравнение может быть приведено (путем перенесения начала координат в центр) к виду: Дальнейшие исследования таких (наз. центральными) К. с. показывают, что их уравнения могут быть приведены к еще более простому виду: если за направления осей координат выбрать так наз. главные направления — направления главных осей (осей симметрии) К. с. Если Аи Вимеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (*) определяет эллипс; если А и B разного знака, то — гиперболу. Уравнение параболы привести к виду (*) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат — единственная ось симметрии параболы, другая — перпендикулярная к нон прямая, проходящая через вершину параболы) ее уравнение можно привести к виду: К. с. были известны уже математикам Древней Греции. Наиболее полным сочинением, посвященным этим кривым, были " Аполлония Пергского (ок. 200 до н. э.). Дальнейшие успехи теории К. с. связаны с созданием в 17 в. новых геометрия; методов: проективного [Ж. Дезарг (G. Desargues), Б. Паскаль (В. Pascal)] и в особенности координатного [Р. Декарт (R. Descartes), П. Ферма (P. Format)]. При надлежащем выборе системы координат (ось абсцисс — ось симметрии К. с, ось ординат — касательная в вершине К. с.) уравнение К. с. может быть приведено к виду: (р и X- постоянные). Если р неравно 0, то оно определяет параболу при k=0, эллипс при l<0, гиперболу при l>0. Геометрич. свойство К. с, содержащееся в последнем уравнении, было известно уже древнегреч. геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам К. с. названия, сохранившиеся до сих пор: слово "парабола" (греч. parabole) оаначает приложение (т. к. в греч. геометрии превращение прямоугольника данной площади у 2 в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2р наз. приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово "эллипс" (греч. clleipsis) — недостаток (приложение с недостатком); слово "гипербола" (греч. hyperbole) — избыток (приложение с избытком). С переходом к современным методам исследования стереометрич. определение К. с. было заменено планиметрич. определениями этих кривых как множеств точек на плоскости. Так, напр., эллипс определяется как множество точек, для к-рых сумма расстояний от двух данных точек (фокусов) имеет данное значение. Можно дать другое планиметрич. определение К. с, охватывающее все три типа этих кривых: К. с.- множество точек, для каждой из к-рых отношение ее расстояний до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) равно данному положительному числу (эксцентриситету) е. Если при этом е<1, то К. с.- эллипс; если е>1, то — гипербола; если е=1, то — парабола. Лит.:[1] Александров П. С, Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; [2] Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959. В. И. Битюцков.

Смотреть другие определения →