Определение слова «Конечных Разностей Исчисление»

Большой энциклопедический словарь:

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ИСЧИСЛЕНИЕ — раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления и интегрального исчисления, где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся.

Большая советская энциклопедия:

Конечных разностей исчисление
Раздел математики, в котором изучаются функции при дискретном (прерывном) изменении аргумента, в отличие от дифференциального исчисления (См. Дифференциальное исчисление) и интегрального исчисления (См. Интегральное исчисление), где аргумент предполагается непрерывно изменяющимся. Конечными разностями «вперёд» для последовательности значений y1= f (x1), y2 = f (x2),..., yk = f (xk),... функции f (x), соответствующих последовательности значений аргумента x0,..., xk,,... (xk = х0 + kh, h — постоянное, k — целое), называют выражения:
yk f (xk) = f (xk+1) — f (xk)
(разности 1-го порядка),
2yk 2f (xk) = f (xk+1)- f (xk) = f (xk+2)-2f (xk+1) + f (xk)
(разности 2-го порядка),
nyk nf (xk) = n-1f (xk+1) — n-1f (xk)
(разности n-го порядка).
Соответственно, конечные разности «назад» nyк определяются равенствами
nyк = nyк + n.
При интерполяции (См. Интерполяция) часто пользуются т. н. центральными разностями ny, которые вычисляются при нечётном n в точках х = xi+1l2h, а при чётном n в точках х = xi по формулам
f (xi + 1/2h) yi+1/2 = f (xi+1) — f (xi),
2f (xi) 2yi = yi+1/2,
2m-1f (xi + 1/2h) 2т—1yi+1/2 = 2т—2yi+1-2т—2yi,
2mf (xi) 2туi = 2т—1yi+1/2 — 2т—1yi-1/2
Они дополняются средними арифметическими
,
,
где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают
.
Центральные разности ny связаны с конечными разностями ny соотношениями
2туi = 2туi-m,
2т+1yi+1/2 = 2m+1yi-m
Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 — xk не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам

…………………………..……………………
.
Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой nyk = f (n)( ), где xk xk+n. Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.
Например, для приближённого решения (См. Приближённое решение)дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).
Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида
F [x,(f (x),...,nf (x)] = 0 (1)
задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n-го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде
Ф [х, f (x), f (x1),..., f (xn)] = 0,
выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
f (x+n) + a1f (x+n-1) +... + anf (x) = 0,
где a1,..., an — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни 1, 2,... n его характеристического уравнения
n + a1n-1+...+an = 0.
Тогда общее решение данного уравнения представится в виде
f (x) = С11х + C22x +... + Cnnx,
где C1, C2,..., Cn — произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел 1, 2,..., n нет равных).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.
Под редакцией Н. С. Бахвалова.

Математическая энциклопедия:

Раздел математики, в к-ром изучаются функции при дискретном изменении аргумента, в отличие от дифференциального и интегрального исчислений, где аргумент изменяется непрерывно. Пусть функция y=f(x)задана в точках xk=x0+kh(h — постоянная, к- целое). Тогда — (конечные) разности первого порядка,- разности второго порядка, ... ,- разности n-го порядка. Разности удобно располагать в таблицу: Разность n-го порядка через величины у 0, у1,... выражается формулой: Наряду с разностями вперед Dyk употребляются разности назад: В ряде вопросов (в частности, при построении интерполяционных формул) используют центральные разности: к-рые определяются следующим образом: Между центральными dnyl. и обычными разностями Dnyk имеется связь В случае, когда промежутки х k+1- х k не постоянны, рассматривают так наз. разделенные разности: Имеет место формула Иногда вместо [ х 0; х 1;... ; х п] употребляется обозначение f(x0; х 1; ...; х п). Если xn=x0+nh, n=0, 1, 2, ... , то Если функция f(x)в интервале xk<х<xk+n имеет n-ю производную fn (х), то К. р. и. тесно связано с общей теорией приближения функций, используется в приближенном дифференцировании и интегрировании, в приближенном решении дифференциальных уравнений и других вопросах. Пусть поставлена задача (интерполяционная задача) о восстановлении функции f(x), если известны значения f(x)в точках х 0, х 1, . .., х п. Строится многочлен Р(х)степени п, к-рый в указанных точках принимает те же значения, что и f(x). Его можно записать в различных формах — в форме Лагранжа, в форме Ньютона и т. д. В форме Ньютона интерполяционный многочлен имеет вид: а в случае равноотстоящих значений независимого переменного: Функцию f(х)принимают приближенно равной Р . На этом основании решению f{x )уравнения (10) приводится в соответствие ряд В случае, когда уравнение (9) имеет вид (т. е. f(x)- периодическая функция с периодом 2p); L(l) = е 2pl-1; корни уравнения L(l)=0 суть mi;( т=0, 1, . . .) и ряд (11) есть ряд Фурье для функции f(x), записанный в комплексной форме. Ряд (11) можно рассматривать как обобщение на случай разностного уравнения (9) обычного ряда Фурье, соответствующего простейшему разностному уравнению (12). При определенных условиях ряд (11) сходится к решению f(x). Если f(x)- аналитическая функция, то уравнение (9) представимо в виде бесконечного порядка уравнения Аналогично разностям функций одного переменного вводятся разности функций многих переменных. Так, напр., пусть требуется решить задачу численного решения уравнения Лапласа в прямоугольнике при заданных значениях и( х, у )на границе прямоугольника. Прямоугольник разбивается на мелкие прямоугольные ячейки со сторонами Dx=a/N, Dy=b/M. В вершинах этих ячеек ищутся значения решения. В вершинах, к-рые лежат на границе исходного прямоугольника, значения и( х, у )известны. Принимая приближенно (в числителях стоят разности второго порядка) вместо уравнения Лапласа получают систему уравнений Точка ( х, у )пробегает те вершины ячеек, к-рые расположены внутри основного прямоугольника. Тем самым строится система (N-1)( М-1) уравнений, содержащая то же число неизвестных. Решая эту алгебраич. систему уравнений, получают значения и( х, у )в вершинах ячеек. Когда D х и D у малы, а решение задачи имеет определенную гладкость, найденные значения близки к точным значениям. К. р. и. развивалось параллельно с развитием основных разделов математич. анализа. Начала К. р. п. содержатся в трудах П. Ферма (P. Fermat), И. Барроу (I. Barrow), Г. Лейбница (G. Leibniz). В 18 в. К. р. и. приобрело характер самостоятельной математич. дисциплины. Первое систематич. изложение К. р. и. было дано Б. Тейлором (В. Taylor) в 1715. Труды математиков 19 в. подготовили почву для современных глав К. р. п. Идеи и методы К. р. и. получили, существенное развитие в применении аналитич. функциям комплексного переменного и задачам вычислительной математики. Лит.:[1] Марков Д. А., Исчисление конечных разностей, 2 изд.. Од., 1910; [2] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 1-2, 3 изд., М., 1966; [3] Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967; [4] Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975. А. Ф. Леонтьев.

Смотреть другие определения →