Определение слова «Гиперболические функции»

Большой энциклопедический словарь:

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, определяемые формулами: (гиперболический синус) — (гиперболический косинус) — (гиперболический тангенс).

Большая советская энциклопедия:

Гиперболические функции
Функции, определяемые формулами:

(гиперболический синус),

(гиперболический косинус).
Иногда рассматривается также гиперболический тангенс:

(графики Г. ф. см. на рис. 1). Г. ф. связаны между собой соотношениями, аналогичными соотношениям между тригонометрическими функциями:

Г. ф. можно выразить через тригонометрические:

Геометрически Г. ф. получаются из рассмотрения равнобочной гиперболы х2—у2 = 1, которую можно задать параметрическими уравнениями х = ch t, у = sh t, аргумент t представляет двойную площадь сектора гиперболы ОАС (см. рис. 2).
Обратные Г. ф. (ареа-синус гиперболический и ареа-косинус гиперболический) определяются формулами:

Лит.: Янпольский A. Р., Гиперболические функции, М., 1960.

Рис. 1 — слева, и рис. 2 — справа к ст. Гиперболические функции.

Математическая энциклопедия:

Функции, определяемые формулами: — гиперболический синус, -г иперболический косинус. Иногда рассматривается также гиперболический тангенс; Другие обозначения: sinh x,Sh x,cosh x, Ch x,tgh x,tanh x,Th x. Графики см. на рис. 1. Основные соотношения: Геометрическая интерпретация Г. ф. аналогична интерпретации тригонометрических функций (рис. 2). Параметрич. уравнения гиперболы позволяют истолковать абсциссу и ординату точки Мравносторонней гиперболы как гиперболнч. косинус и синус; гиперболич. тангенс-отрезок АВ. Параметр tравен удвоенной площади сектора ОАМ, где AM — дуга гиперболы. Для точки (при ) параметр tотрицателен. Обратные гиперболические функции определяются формулами: Производные и основные интегралы от Г. ф.: Во всей плоскости комплексного переменного z Г. ф. и могут быть определены рядами: таким образом, Имеются обширные таблицы для Г. ф. Значения Г. ф. можно получить также из таблиц для е х и е -х. Лит.:[1] Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функции. Формулы, графики, таблицы, 2 изд., пер. с нем., М., 1968; [2] Таблицы круговых и гиперболических синусов и косинусов в радиацией мере угла, М., 1958; [3] Таблицы е x и е -x, М., 1955. В. И. Битюцков.

Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона:

По аналогии с тригонометрическими функциями Sinx, cosx, определяемыми, как известно, при помощи Эйлеровых формул
sinx = (exi — e—xi)/2i, cosx = (exi + e—xi)/2
(где е есть основание нэперовых логарифмов, a i = [-1]); иногда вводятся в рассмотрение так называемые Г. функции sinhypx, coshypx. Эти функции определяются при помощи уравнений
sinhyp x = (ex — e—x)/2, coshyp x = (ex + e—x)/2.
Название Г. эти функции получают от того, что их можно выводить из рассмотрения равносторонней гиперболы (см. Гипербола), как тригонометрические функции получаются из круга. Возьмем круг радиуса = 1 и равностороннюю гиперболу с полуосью, равной единице. Проведем в гиперболе оси ОА и OB и точно так же в круге возьмем два взаимно-перпендикулярных диаметра. Начиная от точки А на круге и на гиперболе, возьмем дуги АС такие, чтобы площади соответственных секторов ОАС (см. чертежи) равнялись некоторому числу z.

Черт. 3.
Из конца дуги С опустим перпендикуляр CD на диаметр OA. Тогда получим следующее: в круге длина дуги АС будет равна, очевидно, 2z, ибо площадь сектора

но R = 1; CD для круга будет sin2z, a OD будет cos2z. Подобным же образом для гиперболы OD будет coshyp2z, a CD будет sinhyp2z. Обозначая OD через х, CD через у, мы получим уравнение круга в виде
x2 + y2 = 1,
а уравнение гиперболы в виде
x2 — y2 = 1;
отсюда мы замечаем, что между гипербол. функциями должно существовать соотношение
coshyp2x — sinhyp2x = 1,
аналогичное с тригонометрическим
cos2x + sin2x = 1.

Черт. 4.
Кроме того, можно вводить функцию
tghypx = sinhypx/coshypx.
Теорема сложения Г. функций аналогична с соответственной теоремой тригонометрических. Эта теорема выражается формулами:
sinhyp(x + y) = sinhypxcoshypy + coshypxsinhypy
и
coshyp(x + у) = coshypxcoshypy — sinhypxsinhypy.
Д. Гр.

Смотреть другие определения →