Толковый словарь Ефремовой:
отображение ср.
1. Процесс действия по гл. отображать
2. Результат такого действия; образ предмета на полированной гладкой поверхности.
|| перен. Отпечаток в сознании явлений объективной действительности.
3. След, отзвук, отпечаток; воспроизведение (каких-либо чувств, воздействий, влияний и т.п.).
Толковый словарь Ушакова:
ОТОБРАЖЕ́НИЕ, отображения, ср.
1. только ед. Действие по гл. отобразить-отображать и отобразиться-отображаться. Отображение действительности.
2. То, что отображено, отображенное явление.
3. Тоже, что отражение в 5 ·знач. (филос.). Теория отражения или отображения.
Большой энциклопедический словарь:
ОТОБРАЖЕНИЕ (в математике) множества Х в множество Y — соответствие, в силу которого каждому элементу х множества Х соответствует определенный элемент у=f(х) множества Y, называемый образом элемента х. Напр., географическая карта может рассматриваться как результат отображения земной поверхности (или части ее) на кусок плоскости. Термин "отображение" равнозначен термину "функция".
Большая советская энциклопедия:
Отображение
(матем.)
множества А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x) множества В, называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у). Иногда под О. понимают установление такого соответствия. Примерами О. могут служить параллельное проектирование одной плоскости на другую, Стереографическая проекция сферы на плоскость. Географическая карта может рассматриваться как результат О. точек земной поверхности (или части её) на точки куска плоскости. Логически понятие «О.» совпадает с понятиями Функция, Оператор, Преобразование. Как средство исследования О. даёт возможность заменять изучение соотношений между элементами множества А изучением соотношений между элементами множества В, что в ряде случаев может оказаться проще. Так, параллельным проектированием можно отобразить параллелограмм в квадрат, центральным проектированием – любую линию второго порядка в окружность и т.д. Многие свойства остаются неизменными (инвариантными) при О. Так, при параллельном проектировании сохраняется параллельность прямых, отношение отрезков длин параллельных прямых и т.д.
Если каждый элемент множества В является образом элемента множества А, то О. называется отображением А на множество В. Если каждый элемент из В имеет один и только один прообраз, то О. называется взаимно однозначным. О. называется непрерывным, если близкие элементы множества А переходят в близкие элементы множества В. Точнее это означает, что если элементы x1, x2,..., хп,... сходятся к x, то элементы f (x1), f (x2),..., f (хn),... сходятся к f (x).
Каждой части Т множества А соответствует часть f (T) множества В, состоящая из образов точек этой части; она называется образом Т. Если все точки части Q множества В являются образами точек из А, то совокупность всех точек х из А таких, что f (x) лежит в Q, называются полным прообразом Q и обозначается f –1(Q). При взаимно однозначном О. полный прообраз каждого элемента множества В состоит из одного элемента множества А.
Взаимно однозначное О. имеет обратное О., сопоставляющее элементу у из В его прообраз f –1(y). Взаимно однозначное О. называется топологическим, или гомеоморфным, если как оно, так и обратное ему О. непрерывны. При гомеоморфных О. сохраняются лишь наиболее общие свойства фигур, как, например, связность,, ориентируемость, размерность и др. Так, квадрат и круг гомеоморфны, но квадрат и куб не гомеоморфны. Свойства фигур, не изменяющиеся при гомеоморфных О., изучаются в топологии. Если в множествах А и В имеются некоторые соотношения и если эти соотношения сохраняются при О., то О. называется изоморфным относительно этих соотношений (см. Изоморфизм).
В математическом анализе большую роль играют О. одного множества функций на другое. Например, дифференцирование может рассматриваться как О., при котором функции f (x) соответствует функция f’I (x). Среди таких О. наиболее простыми являются О., при которых сумма функций переходит в сумму, а при умножении функции на число образ её умножается на то же число. Такие О. называются линейными, их изучают в функциональном анализе (См. Функциональный анализ). См. также Линейное преобразование, Операторов теория.
В ряде случаев в множествах А и В можно ввести координаты, т. е. задавать каждую точку этих множеств системой чисел (x1,..., хп) и (y1,..., уп). Тогда О. задаётся системой функций ук = fk (x1,..., xn). 1 k m. В большинстве встречающихся на практике случаев функции f1, f2,..., fm дифференцируемые: тогда О. называется дифференцируемым. Если О. дифференцируемо, m= n и Якобиан О. отличен от нуля, то О. взаимно однозначно.
Дифференцируемые О. поверхностей на поверхности изучаются в дифференциальной геометрии. Имеются свойства, общие всем дифференциально-геометрическим О. Например, на поверхности S всегда можно указать такую ортогональную сеть (см. Сети линий), которой на поверхности S ’ соответствует также ортогональная сеть. Эта теорема имеет важное значение в картографии.
Наиболее важны следующие классы О. поверхностей. Изометрическое отображение, которое характеризуется тем, что всякая дуга, лежащая на S, имеет ту же длину, что и образ этой дуги на S ’. При таких О. сохраняются площади фигур, а также углы между двумя направлениями, выходящими из одной точки (подробнее см. Дифференциальная геометрия, Изгибание). Конформное отображение, при котором сохраняются углы между всякими двумя направлениями, выходящими из одной точки (см. Конформное отображение). Примером может служить стереографическая проекция. Сферическое отображение поверхности S на сферу состоит в том, что каждой точке М поверхности S ставится в соответствие такая точка М ’ сферы , чтобы нормали к S и , проведённые соответственно в точках М и М ’ были параллельны. Более общим является О. двух произвольных поверхностей по параллельности нормалей. Геодезическое отображение поверхностей, при котором любой геодезической линии на поверхности S соответствует на S ’ линия также геодезическая. Геодезическая О. поверхности постоянной отрицательной кривизны на часть плоскости имеет большое значение для истолкования геометрии Лобачевского. Эквиареальное отображение поверхности на поверхность, при котором площади соответствующих друг другу фигур равны.
С точки зрения картографии, каждое из трёх О. кривой поверхности на плоскость — конформное, геодезическое и эквиареальное — имеет свои преимущества; удовлетворить сразу не только всем этим требованиям, но даже и каким-либо двум из них оказывается невозможным.
Лит.: Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Бляшке В., Дифференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер. с нем., ч. 1, М. — Л., 1935; Гильберт Д. и Конфоссен С., Наглядная геометрия, пер. с нем., 2 изд., М. — Л., 1951.
Толковый словарь Кузнецова:
отображение
ОТОБРАЖЕНИЕ -я; ср. к Отобразить — отображать и Отобразиться — отображаться. О. морской тематики в живописи. Верное, точное, адекватное о. Художественное, символическое о. О. в сознании явлений действительности.
Малый академический словарь:
отображение
-я, ср.
1.
Действие по знач. глаг. отобразить—отображать и отобразиться—отображаться.
Слово за вами, романисты, поэты и драматурги. Не отображения, не показа ждут от нас, а осмысления происшедшего и происходящего и творческого взгляда в будущее. А. Н. Толстой, На историческом рубеже.
2.
То, что является воспроизведением чего-л.; отражение, образ1.
--- [Фридрих Энгельс] постоянно и без исключения говорит в своих сочинениях о вещах и об их мысленных изображениях или отображениях (Gedanken-Abbilder), причем само собою ясно, что эти мысленные изображения возникают не иначе, как из ощущений. Ленин, Материализм и эмпириокритицизм.
Математическая энциклопедия:
Однозначное — закон, по к-рому каждому элементу нек-рого заданного множества X ставится в соответствие вполне определенный элемент другого заданного множества Y(при этом Xможет совпадать с Y). Такое соотношение между элементами и записывается в виде y=f(x), y=fx или у-у (х). Пишут также и говорит, что отображение f действует из Xв У. Множество X наз. областью определенияотображения, а множество наз. множеством значений отображения. наз. также отображением множества Xвомножество Y(или на множество Y, если ). Логически понятие "О." совпадает с понятиями функция, оператор, преобразование. порождает множество Grf=, наз. графиком отображения. Обратно, множество определяет однозначное О. если и только если для всех и существует , притом только один такой, что , тогда Два отображения f и gназ. равными, если области их определения совпадают и f(x) = g(x) для любого . В этом случае совпадают и области значений этих О. f на Xназ. постоянным, если f(x)=а для любого . Сужением отображения на подмножество наз. отображение j, заданное на множестве Аравенством ; это сужение обозначается fA. Расширением отображения (или продолжением) на множество наз. отображение F, определенное на E и удовлетворяющее равенству F(x)=f(x).для всех . Если заданы три множества X, Y, Z, на X определено отображение f со значениями в Y, а на Yзадано отображение gсо значениями в Z, то существует отображение hс областью определения X, принимающее значения в Z и определяемое равенством h(x)=g[f(x)]. Это О. наз. композицией отображении fи g, а fи gсоответствующим и отображениями, и обозначается g o f, причем порядок записи играет существенную роль (для функций действительного переменного принят термин суперпозиция). hназ. также сложным отображением, составленным из внутреннего отображения f и внешнего отображения g. Понятие сложного О. обобщается на любое конечное число составляющих О. f, определенное на X и принимающее значения в Y, порождает новое О., заданное на подмножествах множества X и имеющее в качестве значений: подмножества множества Y. Именно, если , то Множество f(A).наз. образом множества A. Если положить , то получится исходное отображение f(x), так что f(А).есть расширение отображения f(х).с множества X на множество всех подмножеств множества X, если отождествлять одноэлементное множество с элементом, его составляющим. В случае Y=X множество Аваз. инвариантным подмножеством отображения f, если , а точка хназ. неподвижным эле ментом отображения f, если f(x)=x. Инвариантные множества и неподвижные элементы играют важную роль при решении функциональных уравнений вида f(х)=а или х-f(x)=a. Каждое отображение порождает О., заданное на подмножествах множества f(X) и имеющее в качестве значений подмножества множества X. Именно, для каждого через f-1(B) обозначается множество , называемое полным прообразом множества В. Если f-1(y) для любого состоит из единственного элемента, то f-1 есть О. элемента, определенное на f(X), принимающее значения в X и называемое обратным отображением к f. Существование обратного О. эквивалентно разрешимости уравнения f(х)=у, Если множества X п Yнаделены нек-рыми свойствами, то во множестве F(X, Y).всех О. на X в Y могут быть выделены содержательные классы. Так, для частично упорядоченных множеств X и Yотображение f наз. изотопным, если x<у влечет Для комплексных плоскостей X и Y выделяется класс голоморфных О. Для топология, пространств X и Y естественным образом выделяется класс непрерывных О. этих пространств; строится развернутая теория дифференцирования отображений. Для О. скалярного аргумента и, в более общем случае, для О., определенных на пространстве с мерой, может быть введено понятие (сильной или слабой) измеримости и могут быть построены различные интегралы лебеговского типа (напр., Бохнера интеграл, Даниеля интеграл). О. наз. многозначным отображением, если нек-рым значениям x соответствуют подмножества , состоящие более чем из одного элемента. Таковы, напр., многолистные функции комплексного переменного, многозначные О. топологических пространств и др. Пит.:[1] Бурбаки Н., Теория множеств, пер. с франц., М., 1065; [2]его же, Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., 2изд., М., 1968; [3] Келли Д ж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2изд., М., 1081. В. И. Соболев.
Орфографический словарь Лопатина:
орф.
отображение, -я
Толковый словарь Ожегова:
ОТОБРАЖЕНИЕ, я, ср.
1. см. отобразить.
2. То, что отображено, изображение. Верное, точное о.
Словарь синонимов русского языка:
сущ.
воспроизведение
воссоздание
выражение
изображение
индикация
образ
обрисовка
обрисовывание
описание
отпечатывание
отражение
передача
показ
сюръекция
Грамматический словарь Зализняка:
Отображение, отображения, отображения, отображений, отображению, отображениям, отображение, отображения, отображением, отображениями, отображении, отображениях
© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020