Определение слова «Гомография»

Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона:

Между точками, лежащими на двух прямых, а также между прямыми линиями, проходящими через две точки, можно установить такое однозначное соответствие, что каждой точке одной прямой будет соответствовать одна вполне определенная точка другой, а также в другом случае — прямой линии, принадлежащей к пучку прямых линий, проходящих через первую точку, будет соответствовать вполне определенная прямая пучка, проходящего через другую точку. Такое соответствие двух прямолинейных рядов точек, а также двух пучков называется гомографическим, или проективным. В каждом прямолинейном ряде точек можно поставить определение каждой точки в зависимости от указания численного значения некоторого переменного параметра . За этот переменный параметр может быть принято, например, расстояние переменной точки ряда от некоторой определенной точки, принимаемой за начало счета расстояний, причем расстояния эти считаются положительными в одну сторону от начала и отрицательными в другую. В другом прямолинейном ряду точек положение точки может быть определено заданием другого параметра . Для того, чтобы между двумя указанными рядами, определяемыми параметрами и , существовала гомографическая зависимость, необходимо, чтобы между этими параметрами была зависимость первой степени относительно каждого из них. Такая зависимость в самом общем виде может быть выражена уравнением:
A + B + C + D = 0.
Это уравнение содержит четыре коэффициента А, В, С, D, или, точнее, три отношения трех из числа этих коэффициентов к четвертому, а потому гомографическая зависимость, выражаемая уравнением, определится вполне задание трех пар соответствующих элементов (1, 1) (2, 2) ( 3, 3), тогда каждой четвертой точке 4 будет соответствовать вполне определенное 4. Покажем зависимость между четырьмя парами соответственных элементов двух родов.
Получаются четыре уравнения:
A1 + В1 + С1 + D = 0
А22 + В2 + С2 + D = 0
А33 + В3 + C3 + D = 0
AX44 + B4 + C4 + D = 0
Исключая из этих четырех уравнений четыре коэффициента А, В, С, D, получим окончательно зависимость:
[(1- 3)/(2 — 3)]/[(1- 4)/(2 — 4)] = [(1 - 3)/(2 — 3)]/[(1 — 4)/(2 — 4)];
выражение, стоящее в первой части этого уравнения, называется ангармоническим отношением (см. Ангармоническое отношение). Отсюда мы замечаем, что два прямолинейных ряда точек находятся в гомографической зависимости, когда ангармоническое отношение всяких четырех элементов первого ряда равно ангармоническому отношению соответственных элементов второго. То же самое относится и до гомографической зависимости двух пучков прямых линий, а также и до зависимости между рядами точек, с одной стороны, и пучками линий, с другой. Если мы соединим точки прямолинейного ряда с некоторою точкою плоскости, лежащей вне этого ряда, прямыми линиями, то получим пучок линий, гомографически связанный с заданным рядом точек. Г. играет большую роль в новой геометрии (см. Chasles, "Trait de Gomtrie suprieure) и может быть распространена на геометрию трех измерений. Особенный интерес представляют гомографические ряды точек, расположенные на одной оси, а также гомографические пучки прямых, имеющие общую вершину. Рассмотрим два ряда точек, лежащих на одной оси, гомографическая зависимость которых определяется уравнением A + В + С + D = 0. Такие два ряда точек имеют пару двойных точек, определяемых уравнением Ах2 + (В + С)х + D = 0. Эти точки могут быть действительными, совпадающими или мнимыми. Если В = С, то получается частный случай Г., называемый инволюцией.
Д. Граве.

Смотреть другие определения →


© «СловоТолк.Ру» — толковые и энциклопедические словари, 2007-2020

Top.Mail.Ru
Top.Mail.Ru